Question

9．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對照數(shù)據(jù)：

x	3	4	5	6	7
y	2.5	3	4	4.5	6

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；
（2）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)（2）求出的回歸直線方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
附：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）由題意，計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，$\widehat$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出回歸直線方程；
（2）計算x=100時$\stackrel{∧}{y}$的值，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，再計算比技改前節(jié)約的標(biāo)準(zhǔn)煤．

解答 解：（1）由題意得：$\overline{x}$=5，$\overline{y}$=4；…（2分）
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5+7×6=108.5
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²+7²=135；…（4分）
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{108.5-5×5×4}{135-5{×5}^{2}}$=0.85，…（6分）
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=4-0.85×5=-0.25，
∴所求回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.85x-0.25…（8分）
（2）由（1）知，x=100時，
$\stackrel{∧}{y}$=0.85×100-0.25=84.75噸，…（10分）
預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為84.75噸，
比技改前節(jié)約了90-84.75=5.25噸標(biāo)準(zhǔn)煤．…（12分）

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．