Question

18．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上一點C，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A，B兩點，設(shè)直線AC，BC的斜率分別為k₁，k₂，則當(dāng)$\frac{2}{{{k_1}{k_2}}}+ln{k_1}+ln{k_2}$最小時，雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)C（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），顯然x≠x₁，x≠x₂．利用平方差法推出斜率乘積，通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，然后求解即可．

解答 解：設(shè)C（x，y），A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），顯然x≠x₁，x≠x₂．
∵點A，C在雙曲線上，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1}\\{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}\end{array}}\right.$，兩式相減得$\frac{{{y^2}-y_1^2}}{{{x^2}-x_1^2}}=\frac{b^2}{a^2}$，
∴${k_1}{k_2}={k_{AC}}{k_{BC}}=\frac{{y-{y_1}}}{{x-{x_1}}}•\frac{{y+{y_1}}}{{x+{x_1}}}=\frac{{{y^2}-y_2^2}}{{{x^2}-x_1^2}}=\frac{b^2}{a^2}$．
由$y=\frac{2}{{{k_1}{k_2}}}+ln{k_1}+ln{k_2}=\frac{2}{{{k_1}{k_2}}}+ln（{{k_1}{k_2}}）$，
設(shè)t=k₁k₂，則$y=\frac{2}{t}+lnt$，∴求導(dǎo)得$y'=-\frac{2}{t^2}+\frac{1}{t}$，由$y'=\frac{t-2}{t^2}=0$得t=2．
∴$y=\frac{2}{t}+lnt$在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，
∴t=2時即k₁k₂=2時$y=\frac{2}{t}+lnt$取最小值，
∴$\frac{b^2}{a^2}=2$，∴$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，綜合分析問題解決問題的能力以及 轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．