(本小題滿分14分)
已知x=4是函數f(x)=alnx+x2-12x+11的一個極值點.
(1)求實數a的值;
(2)求函數f(x)的單調區(qū)間;
(3)若直線y=b與函數y=f(x)的圖象有3個交點,求b的取值范圍.
(1)∵f′(x)=+2x-12,
∴f′(4)=+8-12=0
因此a=16 ……………………………………………3分
(2)由(1)知,
f(x)=16lnx+x2-12x+11,x∈(0,+∞)
f′(x)=…………………………5分
當x∈(0,2)∪(4,+∞)時,f′(x)>0
當x∈(2,4)時,f′(x)<0……………………………………………7分
所以f(x)的單調增區(qū)間是(0,2),(4,+∞)
f(x)的單凋減區(qū)間是(2,4) ……………………………………………………………………8分
(3)由(2)知,f(x)在(0,2)內單調增加,在(2,4)內單調減少,在(4,+∞)上單調增加,且當x=2或x=4時,f′(x)=0
所以f(x)的極大值為f(2)=16ln2-9,極小值為f(4)=32ln2-21
因此f(16)=16ln16+162-12×16+11>16ln2-9=f(2)
f(e-2)<-32+11=-21<f(4)
所以在f(x)的三個單調區(qū)間(0,2),(2,4) ,(4,+∞)內,直線y=b與y=f(x)的圖象各有一個交點,
當且僅當f(4)<b<f(2)成立………………………………………………………………………………13分
因此,b的取值范圍為(32 ln2-21,16ln2-9). …………………………………………………………14分
解析
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本題15分)已知函數是奇函數,且圖像在點 為自然對數的底數)處的切線斜率為3.
(1) 求實數、的值;
(2) 若,且對任意恒成立,求的最大值;
(3) 當時,證明:
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
設函數()若上是增函數,在(0,1)上是減函數,函數在R上有三個零點,且1是其中一個零點。
(1)求b的值;
(2)求最小值的取值范圍。
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數
(1)當時,求函數的單調區(qū)間;
(2)若函數的圖像在點處的切線的傾斜角為,問:在什么范圍取值時,函數在區(qū)間上總存在極值?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某工廠生產某種產品,已知該產品的月生產量(噸)與每噸產品的價格p(元/噸)之間的關系式為:p=24200-0.2x2,且生產x噸的成本為(元).問該廠每月生產多少噸產品才能使利潤達到最大?最大利潤是多少?(注:利潤=收入─成本)
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