Question

【題目】已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，設(shè)是橢圓的兩個(gè)短軸端點(diǎn)，是橢圓的長(zhǎng)軸左端點(diǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，直線交橢圓于，且直線的斜率分別為，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若經(jīng)過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求與的面積之差的最大值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）由條件，不妨設(shè)，則直線的斜率為，…1分

所以直線的方程為，代入，得，

解得，所以，，……4分

所以． ………………5分

（Ⅱ）設(shè)與的面積分別為，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)不妨設(shè)，則，的面積相等，即．………………6分

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，

和橢圓方程聯(lián)立得，消掉得，………………7分

顯然，方程有實(shí)根，且．………………8分

此時(shí)．

因?yàn)?/span>，上式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），

所以的最大值為．………………12分

【命題意圖】本題考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、直線斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系，以及考查邏輯思維能

力、分析與解決問(wèn)題的綜合能力、運(yùn)算求解能力、方程思想與分類討論的思想．