Question

5．已知命題p：?x₀∈[0，2]，log₂（x+2）＜2m；命題q：關(guān)于x的方程3x²-2x+m²=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根．
（1）若（￢p）∧q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若（?p）∧q為真，則實(shí)數(shù)m滿足$\left\{\begin{array}{l}m≤\frac{1}{2}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m≤\frac{1}{2}$，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p、q一真一假，分類討論，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：令f（x）=log₂（x+2），則f（x）在[0，2]上是增函數(shù)，
故當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）最小值為f（0）=1，故若p為真，則2m＞1，$m＞\frac{1}{2}$．…（2分）
△=4-12m²＞0即${m^2}＜\frac{1}{3}$時(shí)，方程3x²-2x+m²=0有兩相異實(shí)數(shù)根，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；…（4分）
（1）若（?p）∧q為真，則實(shí)數(shù)m滿足$\left\{\begin{array}{l}m≤\frac{1}{2}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$故$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m≤\frac{1}{2}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$…（6分）
（2）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p、q一真一假，
若p真q假，則實(shí)數(shù)m滿足$\left\{\begin{array}{l}m＞\frac{1}{2}\\ m≤-\frac{{\sqrt{3}}}{3}或m≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$即$m≥\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
若p假q真，則實(shí)數(shù)m滿足$\left\{\begin{array}{l}m≤\frac{1}{2}\\-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$即$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}＜m≤\frac{1}{2}$．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{1}{2}]∪[\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根的個(gè)數(shù)與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．