Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow$=（2sin（ωx+$\frac{2π}{3}$），-$\sqrt{3}$），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小正周期為π．
（1）求f（x）在[-π，π]上的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求函數(shù)f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由題意：存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|，等價(jià)于f（x-$\frac{π}{4}$）_max＞|m-2|成立，只需要求f（x-$\frac{π}{4}$）_max的值即可通過解不等式得到m的取值的范圍．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，1），$\overrightarrow$=（2sin（ωx+$\frac{2π}{3}$），-$\sqrt{3}$），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4cosωxsin（ωx+$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$
化簡(jiǎn)得：f（x）=4cosωx（sinωxcos$\frac{2π}{3}$+cosωxsin$\frac{2π}{3}$）-$\sqrt{3}$
=-2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx-$\sqrt{3}$=-sin2ωx+$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2ωx-$\sqrt{3}$=2cos（2ωx+$\frac{π}{6}$）．
∵最小正周期為π，即T=π=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1
∴f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
當(dāng)x∈[-π，π]時(shí)，則：2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{11π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]
由余弦函數(shù)圖象可知：[-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{12}$]和[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]單調(diào)增區(qū)間．
（2）由題意：存在x∈[0，$\frac{π}{6}$]，使f（x-$\frac{π}{4}$）＞|m-2|成立，等價(jià)于f（x-$\frac{π}{4}$）_max＞|m-2|成立，
∵f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（x-$\frac{π}{4}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）
又∵x∈[0，$\frac{π}{6}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
那么：f（x-$\frac{π}{4}$）_max=2
所以有：|m-2|＜2，解得：0＜m＜4
故m的取值范圍是（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力以及余弦函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，值域的求法來解決恒成立的問題．屬于中檔題．