16.已知向量$\overrightarrow{a}$=(2cosωx,1),$\overrightarrow$=(2sin(ωx+$\frac{2π}{3}$),-$\sqrt{3}$),函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的最小正周期為π.
(1)求f(x)在[-π,π]上的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若存在x∈[0,$\frac{π}{6}$],使f(x-$\frac{π}{4}$)>|m-2|成立,求m的取值范圍.

分析 (1)利用向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式,利用余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,即可求函數(shù)f(x)在[-π,π]上的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)由題意:存在x∈[0,$\frac{π}{6}$],使f(x-$\frac{π}{4}$)>|m-2|,等價(jià)于f(x-$\frac{π}{4}$)max>|m-2|成立,只需要求f(x-$\frac{π}{4}$)max的值即可通過解不等式得到m的取值的范圍.

解答 解:(1)向量$\overrightarrow{a}$=(2cosωx,1),$\overrightarrow$=(2sin(ωx+$\frac{2π}{3}$),-$\sqrt{3}$),
∴f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=4cosωxsin(ωx+$\frac{2π}{3}$)-$\sqrt{3}$
化簡得:f(x)=4cosωx(sinωxcos$\frac{2π}{3}$+cosωxsin$\frac{2π}{3}$)-$\sqrt{3}$
=-2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos2ωx-$\sqrt{3}$=-sin2ωx+$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2ωx-$\sqrt{3}$=2cos(2ωx+$\frac{π}{6}$).
∵最小正周期為π,即T=π=$\frac{2π}{2ω}$,解得ω=1
∴f(x)=2cos(2x+$\frac{π}{6}$)
當(dāng)x∈[-π,π]時(shí),則:2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{11π}{6}$,$\frac{13π}{6}$]
由余弦函數(shù)圖象可知:[-$\frac{7π}{12}$,-$\frac{π}{12}$]和[$\frac{5π}{12}$,$\frac{11π}{12}$]單調(diào)增區(qū)間.
(2)由題意:存在x∈[0,$\frac{π}{6}$],使f(x-$\frac{π}{4}$)>|m-2|成立,等價(jià)于f(x-$\frac{π}{4}$)max>|m-2|成立,
∵f(x)=2cos(2x+$\frac{π}{6}$)
∴f(x-$\frac{π}{4}$)=2cos(2x-$\frac{π}{3}$)
又∵x∈[0,$\frac{π}{6}$],∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$]
那么:f(x-$\frac{π}{4}$)max=2
所以有:|m-2|<2,解得:0<m<4
故m的取值范圍是(0,4).

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡能力以及余弦函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用,值域的求法來解決恒成立的問題.屬于中檔題.

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