Question

已知橢圓長(zhǎng)軸上有一頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為：3＋2，3－2.

（1）求橢圓的方程；

（2）如果直線 與橢圓相交于A,B，若C（－3,0），D(3,0），證明：直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線上；

（3）過(guò)點(diǎn)Q(1,0 )作直線l (與x軸不垂直）與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若，求證：為定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）        （2）直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在雙曲線上.   （3）    

【解析】(1)由題意可知a+c,和a-c,所以可求出a,c的值,進(jìn)而求出b的值.

(2) 依題意可設(shè)，且有，然后求出CA、DB的方程,解出它們的交點(diǎn)再證明交點(diǎn)坐標(biāo)是否滿足雙曲線的方程即可.

(3) 設(shè)直線的方程為，再設(shè)、、，然后直線方程與橢圓C的方程聯(lián)立，根據(jù)，可找到,,同理,則,然后再利用韋達(dá)定理證明

（1）由已知，得，，

所以橢圓方程為       4分

（2）依題意可設(shè)，且有，

又，，，

將代入即得

所以直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在雙曲線上.       9分

（3）依題意，直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，

設(shè)，則兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組，

消去整理得，所以，① 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415220104701442/SYS201208241522372117892592_DA.files/image031.png">，所以，

即，因?yàn)閘與x軸不垂直，所以，則，

又，同理可得，所以

由①式代人上式得