Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，長軸為8，P是橢圓上的一點，PF₂⊥F₁F₂，PF₂=$\frac{1}{3}$PF₁．
（1）求橢圓方程；
（2）過橢圓左準(zhǔn)線l上任意一點A引圓Q：x²+（y-$\frac{^{2}}{2a}$）²=$\frac{9}{16}$a²的兩條切線，切點分別為M，N．試探究直線MN是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖形，求出|PF₂|=$\frac{^{2}}{4}$，則|PF₁|=$\frac{3}{4}^{2}$，結(jié)合橢圓定義求得b²，則橢圓方程可求；
（2）由（1）求出橢圓準(zhǔn)線方程，設(shè)出A的坐標(biāo)，求出以AQ為直徑的圓的方程，利用圓系方程求得直線MN的方程，再由直線系方程說明直線MN過定點，并求得定點坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖，
由題意，2a=8，a=4，|PF₂|=$\frac{^{2}}{4}$，則|PF₁|=$\frac{3}{4}^{2}$，
由$\frac{^{2}}{4}+\frac{3}{4}^{2}=8$，解得b²=8．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（2）由（1）知，c²=a²-b²=8，∴$c=2\sqrt{2}$．
∴橢圓左準(zhǔn)線l方程：x=$-\frac{16}{2\sqrt{2}}=-4\sqrt{2}$．
設(shè)A（-4$\sqrt{2}$，y₀），圓Q：x²+（y-1）²=9．
則圓Q的圓心Q（0，1），
AQ的中點為G（-$2\sqrt{2}$，$\frac{{y}_{0}+1}{2}$），
$|GQ|=\sqrt{（-2\sqrt{2}）^{2}+（\frac{{y}_{0}-1}{2}）^{2}}$，
∴以AQ為直徑的圓的方程為$（x+2\sqrt{2}）^{2}+（y-\frac{{y}_{0}+1}{2}）^{2}=8+（\frac{{y}_{0}-1}{2}）^{2}$．
化為一般式：${x}^{2}+{y}^{2}+4\sqrt{2}x-（{y}_{0}+1）y+{y}_{0}-8=0$．
又圓Q：x²+y²-2y-8=0．
兩式作差得：$4\sqrt{2}x-{y}_{0}y+y+{y}_{0}=0$．
即$4\sqrt{2}x+y-{y}_{0}（y-1）=0$，
由$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{2}x+y=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{8}}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴直線MN過定點（$-\frac{\sqrt{2}}{8}，1$）．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了求過圓上兩切點直線方程的求法，方法靈活，注意掌握，是中檔題．