Question

19．試分別用兩種方法證明：|sinα|+|cosα|≥1．

Answer 1

分析 方法一：先設α∈[0，$\frac{π}{2}$]，再用輔助角公式化簡函數(shù)式，最后求該式的最值；
方法二：運用三角函數(shù)的定義進行證明，根據(jù)三角形三邊關系得出不等式．

解答 解：方法一：【代數(shù)法】
∵|sinα|，|cosα|均為非負數(shù)，
∴不妨設α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
|sinα|+|cosα|=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵α∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
所以，$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈[1，$\sqrt{2}$]，
即|sinα|+|cosα|∈[1，$\sqrt{2}$]，
故|sinα|+|cosα|≥1．
方法二：【幾何法】
設點P（x，y）（x²+y²≠0）為α終邊上任一點，記r=$\sqrt{x^2+y^2}$，
根據(jù)三角函數(shù)的定義，sinα=$\frac{y}{r}$，cosα=$\frac{x}{r}$，因此，
|sinα|+|cosα|=|$\frac{x}{r}$|+|$\frac{x}{r}$|=$\frac{|x|+|y|}{r}$，
由三角形三邊關系，兩邊之和大于第三邊得，
|x|+|y|＞r，僅當x=0或y=0時，|x|+|y|=r，
因此，|x|+|y|≥r，所以，$\frac{|x|+|y|}{r}$≥1，
故|sinα|+|cosα|≥1．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的定義與三角函數(shù)的恒等變形，以及三角不等式的證明，屬于中檔題．