Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，其中a1=

1

2

，5S_n=7a_n-a_n-1+5S_n-1（n≥2）；等差數列{b_n}，其中b₃=2，b₅=6．
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）在數列{b_n}中是否存在一項b_m（m為正整數），使得b₃，b₅，b_m成等比數列，若存在，求m的值；若不存在，說明理由．
（3）若c_n=（b_n+3）a_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；
（3）利用“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）5S_n-5S_n-1=7a_n-a_n-1，
∴2a_n=a_n-1，

an

an-1

=

1

2

，
∵a1=

1

2

，
∴an=

1

2

(

1

2

)n-1=

1

2n

．
（2）∵等差數列{b_n}，b₃=2，b₅=6，
∴b_n=2n-4，
∴b_n=2m-4．
假設存在m使得b₃，b₅，b_m成等比數列，
∴b52=b3•bm，
∴m=11，
因此存在m使得b₃，b₅，b_m成等比數列．
（3）cn=(2n-1)×

1

2n

，
∴

Tn=1× 1 2 +3× 1 22 +5× 1 23 +…+(2n-1)× 1 2n 1 2 Tn=1× 1 22 +3× 1 23 +…+(2n-3)× 1 2n +(2n-1)× 1 2n+1

∴

1

2

Tn=

1

2

+2×(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-(2n-1)×

1

2n+1

=

1

2

+

2× 1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)×

1

2n+1

，
∴Tn=3-

2n+3

2n

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式、“錯位相減法”、等比數列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．