已知函數(shù)f(x)=2
3
sinxcosx-2cos2x+1

(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若△ABC中,f(A-
π
12
)=
3
,且b+c=4,求∠A的大小及邊長a的最小值.
分析:(1)利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為f(x)=2sin(2x-
π
6
)
,利用周期公式,求出函數(shù)的周期,正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
(2)通過f(A-
π
12
)=
3
求出A的值,利用余弦定理求出a的最小值.
解答:解:(1)f(x)=
3
sin2x-cos2x=2sin(2x-
π
6
)

∴f(x)最小周期為T=
2
;
-
π
2
+2kπ≤2x-
π
6
π
2
+2kπ
得-
π
6
+kπ≤x≤
π
3
+kπ,k∈z

∴f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為[-
π
6
+kπ ,
π
3
 +kπ],k∈z

(2)f(A-
π
12
)=
3
,所以2sin[2(A- 
π
12
)-
π
6
]=
3
,即:sin(2A-
π
3
)=
3
2
,因為A是三角形的內(nèi)角,所以A=
π
3
,A=
π
2
;b+c=4,所以a2=b2+c2-2bccosA;當(dāng)A=
π
3
時,a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=16-3bc≥16-3(
b+c
2
)
2
=4,a的最小值是2;同理當(dāng)A=
π
2
時,a的最小值為2
2
點評:本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡求值,周期的求法、單調(diào)增區(qū)間的確定,余弦定理的應(yīng)用,考查計算能力.基本不等式的應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
;
(1)求出函數(shù)f(x)的對稱中心;
(2)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù);
(3)是否存在負(fù)數(shù)x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1,x≤0
x
,x>0
,則f[f(-2)]=
3
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x

(1)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期;
(2)當(dāng)x∈[0,2π]時,求使f(x)=
3
成立的x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)
的圖象過點(4,-1)
(1)求a的值;
(2)求證:f(x)在其定義域上有且只有一個零點;
(3)若f(x)+mx>1對一切的正實數(shù)x均成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],則當(dāng)x=
3
3
時,函數(shù)f(x)有最大值,最大值為
2
3
2
3

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