Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求證：AC⊥BD₁
（2）求異面直線AC與BC₁所成角的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)加以證明，可得AC⊥BD₁；
（2）連結(jié)AD₁、CD₁，可證出四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，得BC₁∥AD₁，得∠D₁AC（或補角）就是異面直線AC與BC₁所成角．等邊△AD₁C中求出∠D₁AC=60°，即得異面直線AC與BC₁所成角的大�。�

解答：解：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
∵正方形ABCD中，AC⊥BD，DD₁∩BD=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵BD₁?平面BDD₁，∴AC⊥BD₁；
（2）連結(jié)AD₁、CD₁，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB

∥

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C₁D₁，
∴四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，得BC₁∥AD₁，
由此可得∠D₁AC（或補角）就是異面直線AC與BC₁所成角．
∵△AD₁C是等邊三角形，
∴∠D₁AC=60°，即異面直線AC與BC₁所成角的大小為60°．

點評：本題在正方體中證明線面垂直，并求異面直線所成角的大小，著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角的定義與求法等知識，屬于中檔題．