Question

16．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，E、F分別是BB₁和CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求AE與A₁F所成角的大小；
（Ⅱ）求AE與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐標(biāo)系，利用向量方法求AE與A₁F所成角的大小；
（Ⅱ）證明∠EAB就是AE與平面ABCD所成角，即可求AE與平面ABCD所成角的正切值．

解答 解：（Ⅰ）如圖，建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0，0，0），E（1，0，$\frac{1}{2}$），A₁（0，0，1），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，1，0）
$\overrightarrow{AE}$=（1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（$\frac{1}{2}$，1，-1）
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}F}$=0，
所以AE與A₁F所成角為90°-------------------------------------（6分）
（Ⅱ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴BB₁⊥平面ABCD
∴∠EAB就是AE與平面ABCD所成角，又E是BB₁中點(diǎn)，
在直角三角形EBA中，tan∠EAB=$\frac{1}{2}$．-----------------------（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角，線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．