Question

4．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦點(diǎn)為F（-c，0）（c＞0），過點(diǎn)F作圓${x^2}+{y^2}=\frac{a^2}{4}$的一條切線交圓于點(diǎn)E，交雙曲線右支于點(diǎn)P，若$\overline{OP}=2\overline{OE}-\overline{OF}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 判斷出E為PF的中點(diǎn)，據(jù)雙曲線的特點(diǎn)知原點(diǎn)O為兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)；利用中位線的性質(zhì)，求出PF′的長(zhǎng)度及判斷出PF′垂直于PF；通過勾股定理得到a，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵$\overline{OP}=2\overline{OE}-\overline{OF}$，則$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}）$，∴E為PF的中點(diǎn)，令右焦點(diǎn)為F′，則O為FF′的中點(diǎn)，
則PF′=2OE=a，∵E為切點(diǎn)，∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，∵PF-PF′=2a，∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²，即9a²+a²=4c²．
所以離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，屬于中檔題