Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=0，a_n+1-S_n=n．
（Ⅰ） 求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，b₁=1，點（T_n+1，T_n）在直線

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，在（Ⅰ）的條件下，若不等式

b1

a1+1

+

b2

a2+1

+…+

bn

an+1

≤t2-3t對于n∈N^*恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）條件a_n+1-S_n=n中令n=n-1得 a_n-S_n-1=n-1，兩式相減得遞推關系式a_n+1=2a_n+1，結合a₁=0可證數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式，（Ⅱ）點（T_n+1，T_n）在直線

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上得數(shù)列{

Tn

n

}是等差數(shù)列并求出通項公式，將a_n，b_n代入不等式可見不等式左邊為等比數(shù)列前n項和，利用錯位相減求出化簡不等式轉化為恒成立問題求解．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+1-S_n=n，得a_n-S_n-1=n-1（n≥2），
兩式相減得a_n+1-a_n-（S_n-S_n-1）=1，即a_n+1=2a_n+1，
所以a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
又a₁=0，a₂=1，則a₂+1=2（a₁+1），所以a_n+1+1=2（a_n+1）對任意n∈N^*成立，
所以數(shù)列{a_n+1}是以a₁+1=1為首項，2為公比的等比數(shù)列．
所以，數(shù)列{a_n}的通項公式an=2n-1-1．
（Ⅱ）因為點（T_n+1，T_n）在直線

x

n+1

-

y

n

=

1

2

上，所以

Tn+1

n+1

-

Tn

n

=

1

2

，故{

Tn

n

}是以

T1

1

=1為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，則

Tn

n

=1+

1

2

(n-1)，所以Tn=

n(n+1)

2

，
當n≥2時，bn=Tn-Tn-1=

n(n+1)

2

-

(n-1)n

2

=n，b₁=1滿足該式，所以b_n=n．
不等式

b1

a1+1

+

b2

a2+1

+…+

bn

an+1

≤t2-3t，即為1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

≤t2-3t，
令Rn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，則

1

2

Rn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，兩式相減得(1-

1

2

)Rn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

，所以Rn=4-

n+2

2n-1

．
所以Rn=4-

n+2

2n-1

＜4．
由Rn≤t2-3t恒成立，即t²-3t≥4，解得t≤-1或t≥4．

點評：解題關鍵是將數(shù)列{a_n}，{b_n}通項公式求出代入不等式化簡，轉化為恒成立問題解決．