Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+4x+k2

x

，x∈[1，3]，若對定義域內(nèi)任意實數(shù)x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：

分析：把已知的函數(shù)解析式化簡變形，得到f（x）=x+

k2

x

+4．然后對k分類求出函數(shù)f（x）的值域，結(jié)合對定義域內(nèi)任意實數(shù)x₁，x₂，x₃，
不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，轉(zhuǎn)化值域間的關(guān)系列不等式求解k的取值范圍．

解答： 解：f（x）=

x2+4x+k2

x

=x+

k2

x

+4．
當(dāng)0＜k＜1時，函數(shù)f（x）在[1，3]上為增函數(shù)，函數(shù)的值域為[k2+5，

k2

3

+7]，
對定義域內(nèi)任意實數(shù)x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即2（k²+5）≥

k2

3

+7，
∴0＜k＜1；
當(dāng)1≤k≤

3

時，函數(shù)f（x）在[1，3]上的值域為[2k+4，

k2

3

+7]，
對定義域內(nèi)任意實數(shù)x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即4k+8≥

k2

3

+7，
∴1≤k≤

3

；
當(dāng)

3

≤k≤3時，函數(shù)f（x）在[1，3]上的值域為[2k+4，k²+5]，
對定義域內(nèi)任意實數(shù)x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即4k+8≥k²+5，
∴

3

≤k≤3；
當(dāng)k＞3時，函數(shù)f（x）在[1，3]上為減函數(shù)，函數(shù)的值域為[

k2

3

+7，k2+5]
對定義域內(nèi)任意實數(shù)x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，
即2×(

k2

3

+7)≥k2+5，
∴3＜k≤3

3

．
綜上，正數(shù)k的范圍是：（0，3

3

]．
故答案為：（0，3

3

]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于明確對定義域內(nèi)任意實數(shù)x₁，x₂，x₃，不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立的意義，是中高檔題．