Question

（1）已知|2x-3|≤1的解集為[m，n]
①求m+n的值；
②若|x-a|＜m，求證：|x|＜|a|+1．
（2）已知x，y，z為正實數(shù)，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時x，y，z的值．

Answer 1

考點：平均值不等式在函數(shù)極值中的應用

專題：計算題,不等式

分析：（1）①由不等式|2x-3|≤1可得1≤x≤2，則m=1，n=2；
②化|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|，從而證明；
（2）利用柯西不等式求最小值即取最小值的條件．

解答： 解：（1）①由不等式|2x-3|≤1可化為-1≤2x-3≤1得1≤x≤2，
∴m=1，n=2，
∴m+n=3；
②證明：∵|x-a|＜1，
∴|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|＜|a|+1．
（3）解：由柯西不等式得

x+4y+9z=[( x )2+(2 y )2+(3 z )2]•[( 1 x )2+( 1 y )2+( 1 z )2]                 ≥( x • 1 x +2 y • 1 y +3 z • 1 z )2=36

當且僅當x=2y=3z，即x=6，y=3，z=2時，等號成立；
所以當x=6，y=3，z=2時，x+4y+9z取得最小值36．

點評：本題考查了絕對值不等式的解法及證明，同時考查了柯西不等式在求最值時的應用，屬于中檔題．