Question

已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d（a＜0）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂且x₁＜x₂，滿(mǎn)足f（x₂）=x₁，則方程af²（x）+bf（x）+c=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)數(shù)f′（x），由題意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根，從而關(guān)于f（x）的方程a（f（x））²+bf（x）+c=0有兩個(gè)根，作出草圖，由圖象可得答案．

解答： 解：∵f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d（a＜0）
∴f′（x）=ax²+bx+c，
由題意知x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩根，即x₁，x₂是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，
不妨設(shè)x₂＞x₁，從而關(guān)于f（x）的方程a[f（x）]²+b[f（x）]+c=0有兩個(gè)根，
所以f（x）=x₁，或f（x）=x₂根據(jù)題意畫(huà)圖，
所以f（x）=x₁有兩個(gè)不等實(shí)根，f（x）=x₂只有一個(gè)不等實(shí)根，
綜上方程a[f（x）]²+bf（x）+c=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)零點(diǎn)的概念、以及對(duì)嵌套型函數(shù)的理解，考查數(shù)形結(jié)合思想．