Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=，PC⊥平面ABCD，點E為AB中點．AC⊥DE，其中AD=1，PC=2，CD=；
（1）求直線PC與平面PDE所成的角；
（2）求點B到平面PDE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間坐標系c-xyz，分別求出直線PC的方向向量與平面PDE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到直線PC與平面PDE所成的角；
（2）根據(jù)（1）中平面PDE的法向量，設(shè)點B到平面PDE的距離為d，代入點到平面距離公式，即可求出點B到平面PDE的距離．
解答：解：如圖建立空間坐標系c-xyz
設(shè)BC=a，則A（1，，0），D（0，，0），B（a，0，0），E（，，0），P（0，0，2）
=（1，，0），=，，0）
∵AC⊥DE
∴，即a=2．
∴E（，，0）
設(shè)平面PDE的一個法向量=（x，y，z），，，-2），=（，，0），
則，，即，
令x=2，得，z=3，所以=（2，，3）．
設(shè)直線PC與平面PDE所成的角為θ
∵=（0，0，2），
∴，==，
∴．
故直線PC與平面PDE所成的角為arccos
（2）=（-2，0，2）
設(shè)點B到平面PDE的距離為d，
則=．
即點B到平面PDE的距離為
點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，點到平面的距離，其中建立適當?shù)目臻g坐標系，線面夾角及點到平面距離問題，轉(zhuǎn)化為向量夾角或向量求模問題是解答本題的關(guān)鍵．