Question

已知，函數(shù)，x∈[0，2]
（1）當a=1時，求f（x）在點（3，6）處的切線方程；
（2）求g（x）的值域；
（3）設a＞0，若對任意x₁∈[0，2]，總存在x∈[0，2]，使g（x₁）-f（x）=0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=1代入求出函數(shù)f（x）的解析式，然后求導數(shù)，根據(jù)k=f'（3）=8，過點（3，6），可得到切線方程．
（2）先求出g（0）=0，然后當x≠0時，對g（x）分子分母同時除以x構成，再由基本不等式可求出g（x）的范圍，進而確定函數(shù)g（x）的值域．
（3）先可以確定函數(shù)g（x）的值域是函數(shù)f（x）的值域的子集，轉化為求函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域的問題．對函數(shù)f（x）進行求導，令導函數(shù)等于0求出x的值，再根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)在[0，2]上的單調性，可表示出函數(shù)在[0，2]上的值域，再由函數(shù)g（x）的值域是函數(shù)f（x）的值域的子集可得到答案．
解答：解：（1）當a=1時，，
∴f'（x）=x²-1，f'（3）=8
∴切線方程為y-6=8（x-3），即8x-y-18=0
（2）
x=0時g（x）=0，0＜x≤2時，，
且g（x）＞0，當且僅當x=1時上式取等號即，
綜上，g（x）的值域為．

（3）設函數(shù)f（x）在[0，2]上的值域是A，若對任意x₁∈[0，2]．
總存在x∈[0，2]，使g（x₁）-f（x）=0，∴[0，]⊆A
由得，x∈（0，2）
令f'（x）=0，得x=或x=-（舍去）
（i）時，x，f'（x），f（x）的變化如下表：

∴．∴，解得
（ii）當時，f'（x）＜0∴函數(shù)f（x）在（0，2）上單調遞減．
∵，∴當x∈[0，2]時，不滿足[0，]⊆A
綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是[，1]．
點評：本題主要考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系和函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．導數(shù)是高考必考題，要準備充分．