Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是正三角形，且∠PCA=∠PCB．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）設正△ABC的中心為O，△PAB的重心為G，求證：OG∥平面PAC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為AC=BC，且∠PCA=∠PCB，PC=PC所以△PAC≌△PBC，所以AC=BC，PA=PB則有CD⊥AB，PD⊥AB，CD，PD?平面PCD
所以AB⊥平面PCD則可得PC⊥AB．
（2）由題意得O是正△ABC的中心，G是△PAB的重心所以

PG

GD

=

CO

OD

=

2

1

所以OG∥PC可得OG∥平面PAC．

解答：證明：（Ⅰ）在△PAC與△PBC中，
∵AC=BC，
∴∠PCA=∠PCB，PC=PC
∴△PAC≌△PBC，
∴PA=PB，
設AB中點位D，連接CD，PD．
∵AC=BC，PA=PB，
∴CD⊥AB，PD⊥AB，CD，PD?平面PCD，
∴AB⊥平面PCD
∴PC⊥AB
（Ⅱ）∵O是正△ABC的中心，G是△PAB的重心，
∴點O，G分別在直線PD，CD上，且

PG

GD

=

CO

OD

=

2

1

∴OG∥PC
因為OG?平面PAC，PC?平面PAC，
所以OG∥平面PAC

點評：證明線面垂直時是以相似為橋梁證明線段相等，再利用已知直線與面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可證明，證明線面平行時重心的比例關系是難點，根據(jù)這個關系得到線線平行進而得到線面平行．（題中考查的也是學生常忽略的地方）