Question

【題目】

已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線方程為

l：y＝3x＋1，且當x＝時，y＝f(x)有極值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值為13，最小值為

【解析】試題分析：（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，當x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0，當x＝時，y＝f(x)有極值，則f′＝0，聯(lián)立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究單調(diào)性得出最值.

試題解析：

(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

當x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0，①

當x＝時，y＝f(x)有極值，則f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②

由①②，解得a＝2，b＝－4.

由于切點的橫坐標為1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.

(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4.

令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.

當x變化時，f′(x)，f(x)的取值及變化情況如下表所示：

x	－3	(－3，－2)	－2				1
f′(x)		＋	0	－	0	＋
f(x)	8		13				4

所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為.