Question

20．環(huán)境監(jiān)測中心監(jiān)測我市空氣質(zhì)量，每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)（指數(shù)采取10分制，保留一位小數(shù)）．現(xiàn)隨機(jī)抽取20天的指數(shù)（見下表），將指數(shù)不低于8.5視為當(dāng)天空氣質(zhì)量優(yōu)良．

天數(shù)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
空氣質(zhì)量指數(shù)	7.1	8.3	7.3	9.5	8.6	7.7	8.7	8.8	8.7	9.1

天數(shù)	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
空氣質(zhì)量指數(shù)	7.4	8.5	9.7	8.4	9.6	7.6	9.4	8.9	8.3	9.3

（Ⅰ）求從這20天隨機(jī)抽取3天，至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率；
（Ⅱ）以這20天的數(shù)據(jù)估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量（天數(shù)很多）．若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù)，用X表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算所有可能的情況種數(shù)，得出答案；
（II）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式得出分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）由表中數(shù)據(jù)可知20天中，空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)是12天，
∴從這20天隨機(jī)抽取3天，至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為P=$\frac{{{C}_{12}^{2}C}_{8}^{1}{+C}_{12}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{187}{285}$．
（II）任意抽取1天，則該天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，
故X服從二項(xiàng)分布X～B（3，$\frac{3}{5}$），
∴P（X=0）=（$\frac{2}{5}$）³=$\frac{8}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×$\frac{3}{5}$×（$\frac{2}{5}$）²=$\frac{36}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{3}{5}$）²×$\frac{2}{5}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}×$（$\frac{3}{5}$）³=$\frac{27}{125}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

∴E（X）=0×$\frac{8}{125}$+1×$\frac{36}{125}$+2×$\frac{54}{125}$+3×$\frac{27}{125}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．