如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,是橢圓上不同的三點(diǎn),,在第三象限,線段的中點(diǎn)在直線上.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);

(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上(異于點(diǎn),,)且直線PB,PC分別交直線OA于兩點(diǎn),證明為定值并求出該定值.

 

(1)求橢圓方程一般用待定系數(shù)法.本題已知橢圓過(guò)兩點(diǎn),列兩個(gè)方程,解出的值,(2)求點(diǎn)的坐標(biāo),需列出兩個(gè)方程.一是點(diǎn)C在橢圓上,即,二是的中點(diǎn)在直線上,即.注意到在第三象限,舍去正值.(3)題意明確,思路簡(jiǎn)潔,就是求出點(diǎn)的坐標(biāo),算出為定值.難點(diǎn)是如何消去參數(shù).因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,所以可設(shè),.選擇作為參數(shù),即用表示點(diǎn)的坐標(biāo).由三點(diǎn)共線,解得,同理解得.從而有,這里主要用到代入化簡(jiǎn).本題也可利用橢圓參數(shù)方程或三角表示揭示為定值.

【解析】

試題分析:(1),(2),(3).

試題解析:(1)由已知,得 解得 2分

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 3分

(2)設(shè)點(diǎn),則中點(diǎn)為

由已知,求得直線的方程為,從而.①

又∵點(diǎn)在橢圓上,∴.②

由①②,解得(舍),,從而. 5分

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. 6分

(3)設(shè),,

三點(diǎn)共線,∴,整理,得. 8分

三點(diǎn)共線,∴,整理,得. 10分

∵點(diǎn)在橢圓上,∴,

從而. 14分

所以. 15分

為定值,定值為. 16分

考點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓位置關(guān)系

 

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從甲,乙,丙,丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人,則甲乙兩人中有且只有一個(gè)被選取的概率為 .

 

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函數(shù)的定義域?yàn)锳,函數(shù)的定義域?yàn)锽,則AB = .

 

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設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則正整數(shù)= .

 

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已知雙曲線的離心率為,則實(shí)數(shù)m的值為 .

 

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已知函數(shù),若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .

 

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設(shè)函數(shù),若,則的值為 .

 

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中,角,的對(duì)邊分別為,,,若.

(1)求證:;

(2)當(dāng)時(shí),求的面積.

 

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已知函數(shù)R),為其導(dǎo)函數(shù),且時(shí)有極小值

(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)若,,當(dāng)時(shí),對(duì)于任意x,的值至少有一個(gè)是正數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)若不等式為正整數(shù))對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立,求的最大值.

 

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