Question

1．（1）設(shè)p：實數(shù)x滿足（x-3a）（x-a）＜0，其中a＞0，q：實數(shù)x滿足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-3x≤0\\{x^2}-x-2＞0\end{array}\right.$，若p是?q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)命題p：“函數(shù)$f（x）=\frac{x^3}{3}+\frac{{m{x^2}}}{2}+x+3$無極值”；命題q：“方程$\frac{x^2}{m}+{y^2}=1$表示焦點在y軸上的橢圓”，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出關(guān)于p，q的不等式，得到關(guān)于a的不等式，解出即可；
（2）分別求出p，q為真時的m的范圍，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）p：a＜x＜3a，q：2＜x≤3，
故￢q：x＞3或x≤2
∵p是￢q的充分不必要條件，
∴3a≤2或a≥3，
解得：0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥3，
即實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{2}{3}$]∪[3，+∞）．
（2）p：f′（x）=x²+mx+1，函數(shù)無極值，
得到△=m²-4≤0，解得：-2≤m≤2，
q：0＜m＜1，
若p或q為真命題，p且q為假命題，
則p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}{-2≤m≤2}\\{m≥1或m≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{m＞2或m＜-2}\end{array}\right.$，
解得：-2≤m≤0或1≤m≤2，
故答案為：[-2，0]∪[1，2]．

點評 本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用復合命題之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．