Question

已知等差數(shù)列{x_n}，S_n是{x_n}的前n項和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（1）求{x_n}的通項公式；
（2）設an=(

1

3

)n，T_n是{a_n}的前n項和，是否存在正數(shù)λ，對任意正整數(shù)n，k，不等式Tn-λ

x

2 k

＜λ2恒成立？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．
（3）判斷方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，確定數(shù)列的首項與公差，即可求{x_n}的通項公式；
（2）由Tn-λ

x

2 k

＜λ2恒成立，可得λ2+λ(2k-1)2≥

1

2

，根據(jù)λ＞0，可得(2k-1)2≥

1 2 -λ2

λ

，從而可得λ的取值范圍；
（3）分類討論，利用三角函數(shù)的值域，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）設等差數(shù)列{x_n}的公差為d
由x₃=5，S₅+x₅=34，可得

x1+2d=5 6x1+14d=34

，∴

x1=1 d=2

，∴x_n=2n-1
（2）由Tn-λ

x

2 k

＜λ2恒成立，則

1

2

[1-(

1

3

)n]-λ(2k-1)2＜λ2恒成立
即λ2+λ(2k-1)2＞

1

2

[1-(

1

3

)n]max，即λ2+λ(2k-1)2≥

1

2

，
又λ＞0，所以(2k-1)2≥

1 2 -λ2

λ

因為[(2k-1)2]max≥

1 2 -λ2

λ

=1，所以1≥

1 2 -λ2

λ

，即λ2+λ-

1

2

≥0，故λ≥

3 -1

2

（3）sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n，由于xn=2n-1，Sn=n2，
則方程為：sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²
①n=1時，sin²1+cos1=0無解；
②n=2時，sin²3+3cos3+1=4，所以cos²3-3cos3+2=0，所以cos3=1或cos3=2無解；
③n≥3時，sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1＜1+（2n-1）+1=2n+1＜n²
所以sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²無解
綜上所述，對于一切正整數(shù)原方程都無解．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．