Question

20．如圖，在二面角α-l-β的棱l上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，若二面角α-l-β的大小為$\frac{π}{3}$，AB=AC=2，BD=3，則CD=（　�。�

• A． $\sqrt{11}$
• B． $\sqrt{14}$
• C． $2\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{23}$

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，利用數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AB}$=0，
∵＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$＞=60°，∴＜$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{BD}$＞=120°
∵$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{CD}$²=$\overrightarrow{CA}$²+$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{BD}$²+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{BD}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=2²+2²+3²+0+2×2×3×cos120°+0=11，
∴CD=$\sqrt{11}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握向量的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．