Question

20．已知曲線C₁的極坐標方程為ρ=4cosθ，曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.（t為參數(shù)，0≤α＜π）$，射線$θ=ϕ，θ=ϕ+\frac{π}{4}，θ=ϕ-\frac{π}{4}$與曲線C₁交于極點O外的三點A，B，C．
（1）求$\frac{|OB|+|OC|}{|OA|}$的值；
（2）當$ϕ=\frac{π}{12}$時，B，C兩點在曲線C₂上，求m與α的值．

Answer 1

分析 （1）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），利用三角恒等變換化簡|OB|+|OC|為4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$|OA|，即可求出$\frac{|OB|+|OC|}{|OA|}$．
（2）當$ϕ=\frac{π}{12}$時，B，C兩點的極坐標分別為（2，$\frac{π}{3}$），（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．再把它們化為直角坐標，根據(jù)C₂是經(jīng)過點（m，0），傾斜角為α的直線，又經(jīng)過點B，C的直線方程為y=-$\sqrt{3}$（x-2），由此可得m及直線的斜率，從而求得α的值．

解答 解：（1）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$），|OC|=4cos（φ-$\frac{π}{4}$），…（2分）
則|OB|+|OC|=4cos（φ+$\frac{π}{4}$）+4cos（φ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$（cosφ-sinφ）+2$\sqrt{2}$（cosφ+sinφ）=4$\sqrt{2}$cosφ=$\sqrt{2}$|OA|，
∴$\frac{|OB|+|OC|}{|OA|}$=$\sqrt{2}$．…（5分）
（2）當$ϕ=\frac{π}{12}$時，B，C兩點的極坐標分別為（2，$\frac{π}{3}$），（2$\sqrt{3}$，-$\frac{π}{6}$）．
化為直角坐標為B（1，$\sqrt{3}$），C（3，-$\sqrt{3}$）．…（7分）
C₂是經(jīng)過點（m，0），傾斜角為α的直線，
又經(jīng)過點B，C的直線方程為y=-$\sqrt{3}$（x-2），故直線的斜率為-$\sqrt{3}$，…（9分）
所以m=2，α=$\frac{2π}{3}$．…（10分）

點評 本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標方程，把點的極坐標化為直角坐標，直線的傾斜角和斜率，屬于中檔題．