Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足b_n=2^a_n（n∈N^*），數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁+b₅=68，a₂+a₄=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，設(shè)c_n=a_n+b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知得到b₁，b₅的值，進一步得到a₁，a₅的值，然后求出等差數(shù)列的公差，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）由數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列得到其通項公式，然后分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和求得數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₂+a₄=8，
∴b2b4=2a2•2a4=2a2+a4=256．
又數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
∴b₁b₅=b₂b₄=256．
又已知b₁+b₅=68，
故b₁，b₅是一元二次方程x²-68x+256=0的兩根．
則

b1=4 b5=64

或

b1=64 b5=4.

易知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
當

b1=4 b5=64

時，

a1=2 a5=6

，
則數(shù)列{a_n}的公差d=

a5-a1

4

=1．
故a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×1=n+1；
當

b1=64 b5=4.

時，

a1=6 a5=2

，
則數(shù)列{a_n}的公差d=

a5-a1

4

=-1．
故a_n=a₁+（n-1）d=6+（n-1）×（-1）=7-n．
綜上，數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n+1或a_n=7-n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，由（Ⅰ）得a_n=n+1，bn=2n+1．
∴cn=an+bn=(n+1)+2n+1．
∴S_n=（a₁+b₁）+（a₂+b₂）+…+（a_n+b_n）=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=[2+3+…+（n+1）]+（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）
=

n(2+n+1)

2

+

22(1-2n)

1-2

=

n(n+3)

2

+2n+2-4．

點評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．