Question

【題目】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是和的等差中項(xiàng)，等差數(shù)列滿足，.

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力.第一問，先利用是和的等差中項(xiàng)，得到，由求，注意的情況，不要漏掉，會(huì)得到為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式直接寫出和，再利用已知求出，寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；第二問，先化簡表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法求和求，利用放縮法比較與的大小，作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以最小值為，即，所以.

試題解析：（1）∵是和的等差中項(xiàng)，∴

當(dāng)時(shí)，，∴

當(dāng)時(shí)，，

∴ ，即 3分

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

∴， 5分

設(shè)的公差為，，，∴

∴ 6分

（2） 7分

∴ 9分

∵,∴ 10分

∴數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列 ∴.

綜上所述， . 12分