Question

【題目】如圖所示，已知拋物線,過點任作一直線與相交于兩點，過點作軸的平行線與直線相交于點為坐標原點)．

（1）證明: 動點在定直線上；

（2）作的任意一條切線 (不含軸), 與直線相交于點與（1）中的定直線相交于點．

證明: 為定值, 并求此定值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析， ．

【解析】試題分析：（1）依題意可設(shè)的方程為，代人，得即，設(shè)，則有，直線的方程為的方程為，解得交點的坐標，利用，即可求得點在定直線上；（2）依據(jù)題意得，切線的方程為，代入得即．由得，分別令得得的坐標為，從而可知為定值．

試題解析：（1）依題意可設(shè)的方程為，代人，得，

即，設(shè)，則有，

直線的方程為的方程為，解得交點的坐標為，

注意到及，則有，

因此點在定直線上．

（2）依題意,切線的斜率存在且不等于．

設(shè)切線的方程為，代人得，即．

由得，化簡整理得．故切線的方程可寫為．

分別令，得的坐標為，

則，即為定值．