Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+3x+3-ke^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，2）處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥-5時(shí)，f（x）≤6，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，2）處的切線方程；
（2）當(dāng)x≥-5時(shí)，f（x）≤6，分離參數(shù)求最值，即可求k的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=x²+3x+3-e^x，
∴f′（x）=2x+3-e^x，
∴f′（0）=2，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)P（0，2）處的切線方程是y-2=2x，即2x-y+2=0；
（2）由f（x）≤6，可得x²+3x+3-ke^x≤6，
∴k≥$\frac{{x}^{2}+3x-3}{{e}^{x}}$，
設(shè)y=$\frac{{x}^{2}+3x-3}{{e}^{x}}$，則y′=$\frac{-（x-2）（x+3）}{{e}^{x}}$
∴-5≤x＜-3時(shí)，y′＜0，-3＜x＜2，y′＞0，x＞2，y′＜0，
∴函數(shù)在（-5，-3），（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（-3，2）上單調(diào)遞增，
x=-5時(shí)，y=7e⁵，x=2時(shí)，y=7e^-2，
∴k≥7e⁵．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．