Question

2．設f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)有f（x+2）=-f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當x∈[2，4]時，求f（x）的解析式；
（3）計算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2017）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)周期性的定義進行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)周期性進行轉(zhuǎn)化求解即可得到結(jié)論．
（3）求解f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，利用周期函數(shù)的性質(zhì)得出f（1）+f（2）+…+f（2015）=504×（1+0-1+0）+1=1，求解即可．

解答 （1）證明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，周期為4；
（2）解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=-f（x-2），
若x∈[2，4]，則x-2∈[0，2]，
∵當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
∴當x-2∈[0，2]時，f（x-2）=2（x-2）-（x-2）²．
∴x∈[2，4]，f（x）=-f（x-2）=（x-2）（x-4）；
（3）解：∵x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
∴f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，
2017÷4=504×4+1
∴f（1）+f（2）+…+f（2017）=504×（1+0-1+0）+1=1．

點評 本題主要考查函數(shù)周期性的證明以及函數(shù)解析式的求解，利用函數(shù)周期性的定義，結(jié)合函數(shù)對稱性的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵．