Question

（理）設(shè)α∈（0，π），函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，對定義域內(nèi)任意的x，y，滿足f（）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）試用α表示f（），并在f（）時求出α的值；
（2）試用α表示f（），并求出α的值；
（3）n∈N時，a_n=，求f（a_n），并猜測x∈[0，1]時，f（x）的表達式．
（文）已知向量=（5-m，-3-m）
（1）若點A、B、C不能構(gòu)成三角形，求實數(shù)m應(yīng)滿足的條件．
（2）若△ABC為直角三角形，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（理）（1）分別取x=1，y=0與x=0，y=1，確定f（），從而求出sinα的值，以及α的值；
（2）分別取x=，y=0與x=0，y=，求出f（）的值以及α的值即可．
（3）根據(jù)條件可得f（a_n）是首項為f（a₁）=，公比為的等比數(shù)列，即可猜測：f（x）=x．
（文）（1）由若點A、B、C不能構(gòu)成三角形，則三點共線，求出，，由向量的共線知識知：3（1-m）=2-m，從而求得m的值．
（2）分別討論∠A，∠B，∠C=90°的情況，然后根據(jù)垂直的向量數(shù)量積為0，求得m的值即可．
解答：（理）解：（1）f（）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，…．（1分）
又：f（）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα
則sinα=或…．（3分）
（2）令x=，y=0，f（）=f（）sinα=sin²α
令x=0，y=，f（）=（1-sinα）f（）=-sin²α+sinα
∴sinα=0或sinα=
∵α∈（0，π），∴α=…．（10分）
（3）∵n∈N，a_n=，所以
f（a_n）=f（）（n∈N）…（11分）
因此f（a_n）是首項為f（a₁）=，公比為的等比數(shù)列    …（12分）
故f（a_n）=f（…（13分）．
猜測f（x）=x…（14分）．
（文）解：（1）已知向量=（5-m，-3-m），
若點A、B、C不能構(gòu)成三角形，則這三點共線．             …（1分）
∵=（2-m，1-m）…（3分）
故知3（1-m）=2-m                                   …（4分）
∴實數(shù)m=時，滿足條件．…（5分）
（2）若△ABC為直角三角形，且
①∠A為直角，則，∴3（2-m）+（1-m）=0，解得m=…（7分）
②∠B為直角，=（-1-m，-m）則，∴3（-1-m）-m=0，解得m=-…（10分）
③∠C為直角，則，∴（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0，解得m=…（13分）
綜上，m=或m=-或m=…（14分）
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及數(shù)列與函數(shù)的綜合，向量的共線與垂直，向量的數(shù)量積運算，同時考查了計算能力，屬于中檔題．