Question

16．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{5π}{2}$-ωx）（ω＞0），且其圖象上相鄰最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的距離為$\sqrt{4+{π}^{2}}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若已知sinα+f（α）=$\frac{2}{3}$，求$\frac{2sinαcosα-2si{n}^{2}α}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)最高點(diǎn)為（x₁，1），最低點(diǎn)為（x₂，-1），結(jié)合圖象上相鄰的一個(gè)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{4+{π}^{2}}$列式，求出周期，代入周期公式求得ω，則函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）有題意可得sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，兩邊平方可解得：2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$，cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{14}}{3}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可計(jì)算求解．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=sin（$\frac{5π}{2}$-ωx）=cosωx，故其周期為$\frac{2π}{ω}$，最大值為1．
設(shè)圖象上最高點(diǎn)為（x₁，1），與之相鄰的最低點(diǎn)為（x₂，-1），則|x₂-x₁|=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$．
∵其圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{4+{π}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{π}{ω}）^{2}+{2}^{2}}$，解得ω=1，
∴函數(shù)f（x）=cosx．
（Ⅱ）∵sinα+f（α）=$\frac{2}{3}$，
∴sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，兩邊平方可得：1+2sinαcosα=$\frac{4}{9}$，解得：2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$，cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{14}}{3}$，
∴$\frac{2sinαcosα-2si{n}^{2}α}{1+tanα}$=$\frac{2sinαcosα-2si{n}^{2}α}{1+\frac{sinα}{cosα}}$=$\frac{2sinαcosα（cosα-sinα）}{sinα+cosα}$=±$\frac{5\sqrt{14}}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的周期性、最大值，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．