Question

5．已知三棱錐P-ABC的所有棱長(zhǎng)都相等，且AB=2，點(diǎn)O在棱錐的高PH所在的直線上，PA、PB的中點(diǎn)分貝為E、F，滿足$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OE}$+n$\overrightarrow{OF}$+k$\overrightarrow{OC}$，m，n，k∈R，且k∈[-$\frac{1}{7}$，-$\frac{1}{13}$]，則|$\overrightarrow{OP}$|的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{9}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，表示出向量$\overrightarrow{OP}$、$\overrightarrow{OE}$、$\overrightarrow{OF}$和$\overrightarrow{OC}$，再根據(jù)向量相等，列出方程求出m、n、k的關(guān)系，從而求出|$\overrightarrow{OP}$|的取值范圍．

解答 解：由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{OE}$+n$\overrightarrow{OF}$+k$\overrightarrow{OC}$，m，n，k∈R，
得$\overrightarrow{PO}$=m$\overrightarrow{EO}$+n$\overrightarrow{FO}$+k$\overrightarrow{CO}$=m（$\overrightarrow{PO}$-$\overrightarrow{PE}$）+n（$\overrightarrow{PO}$-$\overrightarrow{PF}$）+k（$\overrightarrow{PO}$-$\overrightarrow{OC}$），
∴$\overrightarrow{PO}$=$\frac{m\overrightarrow{PE}+n\overrightarrow{PF}+k\overrightarrow{PC}}{m+n+k-1}$，
∵點(diǎn)O在正四面體的高上，且E、F分別為PA、PB的中點(diǎn)，
∴m=n=2k，
∴$\overrightarrow{PO}$=$\frac{m\overrightarrow{PE}+n\overrightarrow{PF}+k\overrightarrow{PC}}{m+n+k-1}$=$\frac{k\overrightarrow{PA}+k\overrightarrow{PB}+k\overrightarrow{PC}}{5k-1}$
∴|$\overrightarrow{PO}$|=$\sqrt{6}$|$\frac{k\overrightarrow{PC}}{5k-1}$|=|$\frac{2\sqrt{6}k}{5k-1}$|=$\frac{2\sqrt{6}}{|5-\frac{1}{k}|}$
∵k∈[-$\frac{1}{7}$，-$\frac{1}{13}$]，∴|$\overrightarrow{PO}$|∈[$\frac{\sqrt{6}}{9}$$\frac{\sqrt{6}}{6}$]
則|$\overrightarrow{OP}$|的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{9}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．
故答案為：[$\frac{\sqrt{6}}{9}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間想象能力、計(jì)算能力與邏輯思維能力，是較難的題目