Question

四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，則不同的取法共有（ ）
A．150種
B．147種
C．144種
D．141種

Answer 1

【答案】分析：由題意知從10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，減去不合題意的結(jié)果，4點(diǎn)共面的情況有三類，取出的4個點(diǎn)位于四面體的同一個面上；取任一條棱上的3個點(diǎn)及該棱對棱的中點(diǎn)；由中位線構(gòu)成的平行四邊形，用所有的結(jié)果減去補(bǔ)合題意的結(jié)果．
解答：解：從10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，
其中4點(diǎn)共面的情況有三類．
第一類，取出的4個點(diǎn)位于四面體的同一個面上，有4C₆⁴種；
第二類，取任一條棱上的3個點(diǎn)及該棱對棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；
第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），
它的4頂點(diǎn)共面，有3種．
以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，
∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141種．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查分類計數(shù)原理，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，是一個排列組合同立體幾何結(jié)合的題目，解題時注意做到不重不漏．