Question

已知點(diǎn)A（-2，0），B（1，0），平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程，并指出其表示的曲線的形狀；
（2）求曲線E關(guān)于直線l：x+y-m=0對(duì)稱的曲線E′的方程；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使直線l：x+y-m=0與曲線E′交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，直接由|PA|=2|PB|列式求得點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）求出（1）中圓的圓心坐標(biāo)，求出其關(guān)于直線l：x+y-m=0對(duì)稱點(diǎn)，寫(xiě)出曲線E′的方程；
（3）聯(lián)立直線和曲線E′的方程，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，由以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O得到

OP

•

OQ

=0．代入根與系數(shù)關(guān)系即可求得m的值．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由A（-2，0），B（1，0），且|PA|=2|PB|，
得

(x+2)2+y2

=2

(x-1)2+y2

，整理得：（x-2）²+y²=4．
∴點(diǎn)P的軌跡E的方程為（x-2）²+y²=4，曲線的形狀是以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓；
（2）設(shè)（2，0）關(guān)于直線l：x+y-m=0對(duì)稱的點(diǎn)為P′（x′，y′），
由

2+x′ 2 + y′ 2 -m=0 y′ x′-2 =1

，得

x′=m y′=m-2

．
∴曲線E關(guān)于直線l：x+y-m=0對(duì)稱的曲線E′的方程為（x-m）²+（y-m+2）²=4；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線與圓方程聯(lián)立消去y得：2x²-（2m+4）x+m²=0，
∴x₁+x₂=m+2，x₁x₂=

m2

2

．
∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴OP⊥OQ，可得

OP

•

OQ

=0．
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（m-x₁）（m-x₂）=2x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=0，
結(jié)合前面根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式，代入得：
m²-2m=0，解之得m=0或m=2．
代入方程2x²-（2m+4）x+m²=0的判別式大于0．
∴m的值為0或2．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與圓相交于點(diǎn)P、Q，并且以PQ為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求參數(shù)的值．著重考查了直線方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．