Question

數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，n≥2時，a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

-

2

3

．數(shù)列{b_n}滿足：b_n=3^n-1（a_n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明：{b_n}為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{

an+1

n

}的前n項和為S_n，是否存在正整數(shù)m，n，使得

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

成立？若存在，求出所有符合條件的有序實數(shù)對（m，n）；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當n≥2時，把a_n=

1

3

a_n-1+

2

3n-1

-

2

3

代入b_n-b_n-1整理后得到數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列并求得公差，再求出首項，然后代入等差數(shù)列的通項公式得答案；
（Ⅱ）把{b_n}的通項公式代入{

an+1

n

}，求其前n項和為S_n，進一步代入

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

得到∵（3-m）3ⁿ-1＞0，求出正整數(shù)m，進一步得到正整數(shù)n，則答案可求．

解答： （Ⅰ）證明：當n≥2時，bn-bn-1=3n-1(an+1)-3n-2(an-1+1)，
代入an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

整理得，
bn-bn-1=3n-1(

1

3

an-1+

2

3n-1

+

1

3

)-3n-2(an-1+1)=2．
故{b_n}是公差為2的等差數(shù)列．
又b1=30(a1+1)=2，
∴b_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，bn=3n-1(an+1)=2n，故

an+1

n

=

2

3n-1

，
∴Sn=

2(1- 1 3n )

1- 1 3

=3(1-

1

3n

)，
則

Sn-m

Sn+1-m

=

3-m- 1 3n-1

3-m- 1 3n

=1-

1 3n-1 - 1 3n

3-m- 1 3n

=1-

2

(3-m)3n-1

．
∵

Sn-m

Sn+1-m

＜

3m

3m+1

=1-

1

3m+1

，得

2

(3-m)3n-1

＞

1

3m+1

，
又∵（3-m）3ⁿ-1＞0，m∈N^*，
∴m=1，2．
當m=1時，

2

2•3n-1

＞

1

4

，解得n=1；
當m=2時，

2

3n-1

＞

1

10

，解得n=1，2．
綜上，存在符合條件的所有有序實數(shù)對（m，n）為：（1，1），（2，1），（2，2）．

點評：本題考查了等差關系的確定，考查了等比數(shù)列的和，訓練了與數(shù)列有關的存在性問題的判定方法，是壓軸題．