Question

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知an + 1 = 2Sn + 2 (n∈N*)．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

(2)在an與an + 1之間插入n個數(shù)，使這n + 2個數(shù)組成一個公差為dn的等差數(shù)列．

①在數(shù)列{dn}中是否存在三項dm，dk，dp (其中m，k，p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項，若不存在，說明理由；

②求證：．

 

Answer 1

（1） （2）不存在（證明見解析） （3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）利用和等比數(shù)列的定義即可得出；

（2）利用等差數(shù)列的通向公式即可得出；

①假設(shè)在數(shù)列中存在三項（其中是等差數(shù)列）成等比數(shù)列，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義及其反證法即可得出；

②利用（2）的結(jié)論、“錯位相減法”和等比數(shù)列的前和公式即可得出.

試題解析：(1)【解析】
由，得：

兩式相減：

∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，故

因此．

(2)【解析】
由題意，即，故

①假設(shè)在數(shù)列中存在三項（其中是等差數(shù)列）成等比數(shù)列

則，即： (*)

∵成等差數(shù)列，∴

(*)可以化為，故，這與題設(shè)矛盾

∴在數(shù)列中不存在三項（其中是等差數(shù)列）成等比數(shù)列.

②令

則

兩式相減得：

∴.

考點：等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)；錯位相減法求和.