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【題目】在數列{an},{bn}中,已知a1=2,b1=4,且﹣an , bn , an+1成等差數列,﹣bn , an , bn+1也成等差數列. (Ⅰ)求證:數列{an+bn}和{an﹣bn}都是等比數列,并求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若cn=(an﹣3n)log3[an﹣(﹣1)n],求數列{cn}的前n項和Tn

【答案】(I)證明:∵﹣an , bn , an+1成等差數列,﹣bn , an , bn+1也成等差數列. ∴bn= ,an=
∴an+bn= [(an+1+bn+1)﹣(an+bn)],即an+1+bn+1=3(an+bn),
又∵a1+b1=1+2=3,∴數列{an+bn}是首項、公比均為3的等比數列;
同理可得:﹣an+bn= [(an+1﹣bn+1)+(﹣an+bn)],即an+1﹣bn+1=﹣(an﹣bn),
又∵﹣a1+b1=﹣1+2=1,
∴數列{bn﹣an}是首項為1、公比均為﹣1的等比數列,
∴bn﹣an=(﹣1)n+1 ,
又∵bn+an=3n ,
∴an= = [3n﹣(﹣1)n+1];
(II)解:∵cn=(2an﹣3n)log3[2an﹣(﹣1)n]
=[3n﹣(﹣1)n+1﹣3n]log3[3n﹣(﹣1)n+1﹣(﹣1)n]
=(﹣1)nn,
∴Tn=﹣1+2﹣3+4﹣…+(﹣1)nn,
﹣Tn=1﹣2+3﹣4+…+(﹣1)n(n﹣1)+(﹣1)n+1n,
兩式相減得:2Tn=﹣1+1﹣1+1﹣…﹣1﹣(﹣1)n+1n,
∴Tn= { +(﹣1)nn}
【解析】(I)﹣an , bn , an+1成等差數列,﹣bn , an , bn+1也成等差數列.可得bn= ,an= ,an+bn= [(an+1+bn+1)﹣(an+bn)],即an+1+bn+1=3(an+bn),即可證明數列{an+bn}是首項、公比均為3的等比數列.同理可得:數列{bn﹣an}是首項為1、公比均為﹣1的等比數列.可得an= .(II)cn=(2an﹣3n)log3[2an﹣(﹣1)n]=(﹣1)nn,利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出.
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式(及其變式)和數列的前n項和的相關知識點,需要掌握通項公式:;數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題.

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