Question

已知函數(shù)f（x）=（

x

a+1

-1）^k+（

a

x

-1）^k（x＞0，a＞0，k∈N^*），
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，記函數(shù)的最小值為g（a），若g（a）≤

2

3

，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用基本不等式，（2）先化簡(jiǎn)，討論，利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）=（

x

a+1

-1）+（

a

x

-1）
=

x

a+1

+

a

x

-2≥2

a a+1

-2，
（當(dāng)且僅當(dāng)

x

a+1

=

a

x

，x=

a(a+1)

時(shí)，等號(hào)成立）
即函數(shù)的最小值為2

a a+1

-2．
（2）當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)f（x）=（

x

a+1

-1）²+（

a

x

-1）²
=（

x

a+1

）²-2

x

a+1

+1+（

a

x

）²-2

a

x

+1
=（

x

a+1

）²+（

a

x

）²-2（

x

a+1

+

a

x

）+2
=（

x

a+1

+

a

x

）²-2（

x

a+1

+

a

x

）+2-2

a

a+1

=（

x

a+1

+

a

x

-1）²+1-2

a

a+1

，
∵

x

a+1

+

a

x

≥2

a a+1

（當(dāng)且僅當(dāng)

x

a+1

=

a

x

，x=

a(a+1)

時(shí)，等號(hào)成立），
①當(dāng)2

a a+1

≤1，即0＜a≤

1

3

時(shí)，
g（a）=f（x）_min=1-2

a

a+1

≤

2

3

，
解得，0＜a≤

1

5

．
①當(dāng)2

a a+1

＞1，即a＞

1

3

時(shí)，
g（a）=f（x）_min=（2

a a+1

-1）²+1-2

a

a+1

≤

2

3

，
化簡(jiǎn)得，（

a a+1

-1）²≤

1

3

，
即

a a+1

＞1-

3

3

，
解得，a＞

1

3

．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，

1

5

]∪（

1

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，同時(shí)考查了基本不等式和分類(lèi)討論的思想．