Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知以O(shè)為圓心的圓與直線l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共點(diǎn)，且要求使圓O的面積最�。�
（1）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并指出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）寫出圓O的方程；
（3）圓O與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P使$\overrightarrow{PO}$²=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線方程為y=mx+（3-4m），得m（x-4）+3-y=0，x-4=0且3-y=0，即可證明直線必過(guò)定點(diǎn)；
（2）要使面積最小則定點(diǎn)一定在圓上，此時(shí)易求出圓的方程；
（3）根據(jù)圓與x軸相交，求出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P在圓內(nèi)以及由$\overrightarrow{PO}$²=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，分別求出一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立即可求出y₀²的取值范圍，最終判斷出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

解答 （1）證明：∵直線方程為y=mx+（3-4m），
∴m（x-4）+3-y=0，
∴x-4=0且3-y=0，
∴得l過(guò)定點(diǎn)T（4，3）
（2）解：由題意，要使圓O的面積最小，定點(diǎn)T（4，3）在圓上
∴圓O的方程為：x²+y²=25
（3）解：∵圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，
故A（-5，0）B（5，0）
設(shè)P（x₀，y₀）為圓內(nèi)任意一點(diǎn)
故：x₀²+y₀²＜25            ①
$\overrightarrow{PA}$=（-5-x₀，-y₀），$\overrightarrow{PB}$=（5-x₀，y₀），
由$\overrightarrow{PO}$²=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|，∴x₀²+y₀²=$\sqrt{（{x}_{0}+5）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{0}-5）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$
整理得：x₀²-y₀²=$\frac{25}{2}$      ②
由①②得：0≤y₀²≤$\frac{25}{4}$
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₀²-25）+y₀²=2y₀²-$\frac{25}{2}$
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$∈[-$\frac{25}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的取值范圍問(wèn)題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，以及等比數(shù)列問(wèn)題．通過(guò)圓內(nèi)任意點(diǎn)坐標(biāo)滿足的兩個(gè)關(guān)系最終確定向量的取值范圍，屬于難題．