Question

15．已知棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心為O．以O(shè)為球心，1為半徑作球，點(diǎn)P是球面上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁表面上的任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$的取值范圍為（　�。�

• A． [-9，9]
• B． [-12，12]
• C． [-15，15]
• D． [-18，18]

Answer 1

分析 以球心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，表示出$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{DA}$的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)公式計算，求出最值．

解答 解：以球心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y，z），Q（a，b，c），則x²+y²+z²=1，|a|≤2，|b|≤2，|c|≤2，
∴$\overrightarrow{DA}$=（0，4，0），$\overrightarrow{PQ}$=（a-x，b-y，c-z）．∴$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$=4（b-y），
∴當(dāng)b=2，y=-1時，$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$取得最大值12，當(dāng)b=-2，y=1時，$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$取得最小值-12．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了空間向量的數(shù)量積運(yùn)算及應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵．