12.已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù),且對任意實(shí)數(shù)x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),則f[f($\frac{2015}{2}$)]的值是( 。
A.$\frac{2015}{2}$B.1C.0D.2015

分析 對任意實(shí)數(shù)x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),令x=-$\frac{1}{2}$可得:$f(\frac{1}{2})$=0.令x=0,可得f(0)=0.x≠0時(shí),f(x+1)=$\frac{x+1}{x}$f(x).可得$f(\frac{2013}{2}+1)$=2015$f(\frac{1}{2})$,即可得出.

解答 解:對任意實(shí)數(shù)x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),
∴令x=-$\frac{1}{2}$可得:$-\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})$=$\frac{1}{2}$$f(\frac{1}{2})$,可得$f(\frac{1}{2})$=0.
令x=0,則0f(1)=f(0),可得f(0)=0.
∴x≠0時(shí),f(x+1)=$\frac{x+1}{x}$f(x).
∴$f(\frac{1}{2}+1)$=3$f(\frac{1}{2})$,$f(\frac{3}{2}+1)$=5$f(\frac{1}{2})$.
∴$f(\frac{2013}{2}+1)$=2015$f(\frac{1}{2})$=0.
∴f[f($\frac{2015}{2}$)]=f(0)=0.
故選:0.

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的周期性與奇偶性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知點(diǎn)A(0,-2),B(0,4),動點(diǎn)P(x,y)滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=y2-8.
(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)設(shè)(1)中所求軌跡與直線y=x+2交于C,D兩點(diǎn),設(shè)C( x1,y1),D( x2,y2),計(jì)算 x1 x2,y1 y2的值;
(3)求證:OC⊥OD(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作一條直線,當(dāng)直線斜率為1時(shí),直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線斜率為2時(shí),直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍為( 。
A.(1,$\sqrt{2}$)B.(1,$\sqrt{5}$)C.($\sqrt{2}$,2)D.($\sqrt{2}$,$\sqrt{5}$)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.如圖,在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),AB=2,∠ABC=$\frac{π}{3}$.
(1)求證:PB∥平面AEC;
(2)若三棱錐P-AEC的體積為1,求二面角A-PC-B的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1+kx}{{ln({x+1})}}$,其中k∈R.
(Ⅰ)當(dāng)k=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式xf(x)>x+1對任意x∈(-1,0)∪(0,+∞)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.設(shè)f(x)=$\frac{x^2}{{1+{x^2}}}$,則f($\frac{1}{2016}$)+f($\frac{1}{2015}$)+…+f(1)+f(2)+…+f(2016)=( 。
A.4031B.$\frac{4031}{2}$C.4032D.2016

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.設(shè)x、y為實(shí)數(shù).且xy=3,求x$\sqrt{\frac{y}{x}}$$+y\sqrt{\frac{x}{y}}$的值±2$\sqrt{3}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+1)ex(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)設(shè)f(x)=xlnx-x2+$\frac{f(x)}{e^x}$,若a<$\frac{3}{2}$,求f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值;
(2)定義:若函數(shù)G(x)在區(qū)間[s,t](s<t)上的取值范圍為[s,t],則稱區(qū)間[s,t]為函數(shù)G(x)的“域同區(qū)間”,若a=2,求函數(shù)f (x)在(1,+∞)上所有符合條件的“域同區(qū)間”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4,x≥0}\\{x+4,x<0}\end{array}\right.$.
(1)求f(f(-2));
(2)畫出函數(shù)的圖象并求出函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,2)上的值域.

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同步練習(xí)冊答案