Question

已知三棱錐A-BCD的所有棱長都為

2

．則該三棱錐的外接球的表面積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖所示，設(shè)球心為O點，底面△ABC的中心為O₁，球的半徑為R．由于三棱錐A-BCD的所有棱長都為

2

．可得CO₁=

6

3

，PO₁=

PC2-O1C2

=

2 3

3

．在△OAO₁中，R2=(

2 3

3

-R)2+(

6

3

)2，解得R即可得出．

解答： 解：如圖所示，
設(shè)球心為O點，底面△ABC的中心為O₁，球的半徑為R．
∵三棱錐A-BCD的所有棱長都為

2

．
∴CO₁=

2

3

×

3

2

×

2

=

6

3

，
∴PO₁=

PC2-O1C2

=

2-( 6 3 )2

=

2 3

3

．
在△OAO₁中，R2=(

2 3

3

-R)2+(

6

3

)2，
解得R=

3

2

．
∴該三棱錐的外接球的表面積S=4πR²=4π×(

3

2

)2=3π．
故答案為：3π．

點評：本題考查了正三棱錐的性質(zhì)、球的表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．