Question

15．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F，直線MN過(guò)焦點(diǎn)F且與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，D為線段MF上一點(diǎn)，且|MD|=2|NF|，若|DF|=1，則|MF|=2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依題意F（1，0），設(shè)直線MN方程為x=my+1．將直線MN的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得y²-4my-4=0．由此能夠求出直線的斜率，可得|MF|．

解答 解：依題意F（1，0），設(shè)直線MN方程為x=my+1．            
將直線MN的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y²-4my-4=0． 
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），所以 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
x₁x₂=$\frac{1}{16}$（y₁y₂）²=1①
因?yàn)閨MD|=2|NF|，|DF|=1，
所以 x₁=2x₂+2②
聯(lián)立①和②，解得x₁=1+$\sqrt{3}$（負(fù)的舍去），
|MF|=x₁+1=2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線斜率的求法，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．