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10.已知正三棱錐P-ABC的外接球的球心O滿足OA+OB+OC=0,則二面角A-PB-C的正弦值為(  )
A.16B.28C.265D.63

分析 推導(dǎo)出O是△ABC的外心.設(shè)△ABC的邊長為a,則此三棱錐的高PO=OB=33a,側(cè)棱長PA=PB=PC=63a,側(cè)面的斜高PD=512a,取AC中點(diǎn)F,連結(jié)BF,PF,作CE⊥PB,交PB于E,連結(jié)AE,則∠AEC是二面角A-PB-C的平面角,由此能求出二面角A-PB-C的正弦值.

解答 解:∵正三棱錐P-ABC的外接球的球心O滿足OA+OB+OC=0,
∴O是△ABC的外心.
設(shè)△ABC的邊長為a,則此三棱錐的高PO=OB=33a,
∴側(cè)棱長PA=PB=PC=63a,
側(cè)面的斜高PD=PB2BC22=512a
取AC中點(diǎn)F,連結(jié)BF,PF,則BF⊥AC,PF⊥AC,
∵BF∩AF=F,∴AC⊥平面PBF,∵PB?平面PBF,∴AC⊥PB,
作CE⊥PB,交PB于E,連結(jié)AE,∵AC∩CE=C,∴PB⊥平面ACE,
∵AE?平面ACE,∴PB⊥AE,
∴∠AEC是二面角A-PB-C的平面角,
在△PBC中,由PB•CE=PD•BC,得CE=58a,
∴cos∠AEC=AE2+CE2AC22AECE=15,∴sinAEC=265,
∴二面角A-PB-C的正弦值為:265
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意合理地轉(zhuǎn)化空間問題為平面問題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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A.24B.2C.22D.32

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