A. | 16 | B. | √28 | C. | 2√65 | D. | √63 |
分析 推導(dǎo)出O是△ABC的外心.設(shè)△ABC的邊長為a,則此三棱錐的高PO=OB=√33a,側(cè)棱長PA=PB=PC=√63a,側(cè)面的斜高PD=√512a,取AC中點(diǎn)F,連結(jié)BF,PF,作CE⊥PB,交PB于E,連結(jié)AE,則∠AEC是二面角A-PB-C的平面角,由此能求出二面角A-PB-C的正弦值.
解答 解:∵正三棱錐P-ABC的外接球的球心O滿足→OA+→OB+→OC=→0,
∴O是△ABC的外心.
設(shè)△ABC的邊長為a,則此三棱錐的高PO=OB=√33a,
∴側(cè)棱長PA=PB=PC=√63a,
側(cè)面的斜高PD=√PB2−(BC2)2=√512a,
取AC中點(diǎn)F,連結(jié)BF,PF,則BF⊥AC,PF⊥AC,
∵BF∩AF=F,∴AC⊥平面PBF,∵PB?平面PBF,∴AC⊥PB,
作CE⊥PB,交PB于E,連結(jié)AE,∵AC∩CE=C,∴PB⊥平面ACE,
∵AE?平面ACE,∴PB⊥AE,
∴∠AEC是二面角A-PB-C的平面角,
在△PBC中,由PB•CE=PD•BC,得CE=√58a,
∴cos∠AEC=AE2+CE2−AC22•AE•CE=15,∴sin∠AEC=2√65,
∴二面角A-PB-C的正弦值為:2√65.
故選:C.
點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意合理地轉(zhuǎn)化空間問題為平面問題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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A. | √24 | B. | √2 | C. | 2√2 | D. | 3√2 |
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A. | {x|-1<x<1} | B. | {x|x≥-2} | C. | {x|-2≤x<1} | D. | {x|-1<x≤2} |
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A. | (-1,2) | B. | (-4,2) | C. | (-4,0) | D. | (-4,2) |
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