Question

已知⊙C經過A（3，2），B（1，2）兩點，且圓心在直線y=2x上．
（1）求⊙C的方程；
（2）若直線經過點B（1，2），且與⊙C相切，求直線l的方程；
（3）已知直線l′：kx-y-3k+3=0，求證：不論k取什么值，直線l′和⊙C總相交．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）設圓C的圓心坐標為C（a，2a），再由圓C經過A（3，2）、B（1，2）兩點，可得|CA|²=|CB|²，即 （a-3）²+（2a-2）²=（a-1）²+（2a-2）²．求得a的值，即可求得圓心坐標和半徑，從而求得圓C的方程．
（2）用點斜式設出直線l的方程為y-2=k（x-1），根據圓心（2，4）到直線l的距離等于半徑，即

|2k-4+2-k|

k2+1

=

5

，解得k的值，可得直線l的方程．
（3）由于直線l′經過定點H（3，3），而點H在圓的內部，可得直線l′和⊙C總相交．

解答： 解：（1）由于圓心在直線y=2x上，故可設圓C的圓心坐標為C（a，2a）． 再由圓C經過A（3，2）、B（1，2）兩點，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-3）²+（2a-2）²=（a-1）²+（2a-2）²．
解得 a=2，故圓心C（2，4），半徑r=

(a-3)2+(2a-2)2

=

5

，故圓C的方程為 （x-2）²+（y-4）²=5．
（2）設直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-2=k（x-1），即 kx-y+2-k=0．
由圓的切線性質可得圓心（2，4）到直線l的距離等于半徑，即

|2k-4+2-k|

k2+1

=

5

，解得k=-

1

2

，
故直線l的方程為 x+2y-5=0．
（3）由于直線l′：kx-y-3k+3=0 即 k（x-3）+（-y+3）=0，經過定點H（3，3），
而點H在圓的內部，故直線l′和⊙C總相交．

點評：本題主要考查求圓的標準方程的方法，直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式，以及直線經過定點問題，屬于基礎題．