Question

在數(shù)列中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若，求數(shù)列{（-1）ⁿb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）方法一：由已知變形得，利用“累乘求積”即可得出；
方法二：利用得到a_n的關(guān)系式，再利用“累乘求積”即可得出；
（2）根據(jù)所求的數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可先求出當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)的T_n，進(jìn)而即可得出n為奇數(shù)時(shí)的T_n；
（3）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及裂項(xiàng)求和即可證明．
解答：解：（1）方法1：∵，且S₁=a₁=1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，，且S₁=1也適合．
當(dāng)n≥2時(shí)，，且a₁=1也適合，∴．
方法2：∵nS_n+1-（n+3）S_n=0，∴（n-1）S_n-（n+2）S_n-1=0，
兩式相減，得n（S_n+1-S_n）=（n+2）（S_n-S_n-1），即na_n+1=（n+2）a_n，即．
又∵可求得a₂=3，∴也適合上式．綜上，得．
當(dāng)n≥2時(shí)，，且a₁=1也適合，
∴．
（2）．設(shè)．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∵，
∴．
當(dāng)n為奇數(shù)（n≥3）時(shí)，，且T₁=c₁=-4也適合上式．
綜上：得．
（3）令f（x）=x-ln（1+x）．
當(dāng)x＞0時(shí)，∵，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞f（0）=0，得ln（1+x）＜x．
令，得，
∴，
∴，
∴．
點(diǎn)評(píng)：數(shù)列掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系、“累乘求積”、構(gòu)造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性及裂項(xiàng)求和是解題的關(guān)鍵．